Para resolver problemas en más que una dimensión, será necesario poder calcular un enclosure ("encierro") de la imagen de una función sobre un conjunto en varias dimensiones. Para ello, podemos definir intervalos multi-dimensionales, de manera análoga a los intervalos uni-dimensionales que ya conocemos.
[1] ¿Cuál sería una definición matemática razonable de un intervalo multi-dimensional?
[2] ¿Cómo podríamos expresar esto en Julia? Da dos posibilidades.
[Pista: Checa typealias]
[3] ¿Cuáles operaciones matemáticas necesitaremos definir sobre los intervalos multi-dimensionales? Impleméntalos en un módulo. ¿Cuál de las dos definiciones resulta más útil en ese respecto?
[4] Considera la función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, dada por $f(x,y) = \mathsf{M} \cdot \mathbf{x}$, con $\mathsf{M} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
(i) Encuentra a mano la imagen del cuadrado unitario. Encuentra el intervalo multi-dimensional más pequeño que contiene este conjunto.
(ii) Verifica el resultado con tu código.
(iii) ¿Cuál es el problema que ocurre? ¿Cómo lo podríamos resolver? Impleméntalo.
[5] Haz lo mismo para la imagen del cuadrado unitario bajo la función
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1 - ax^2 + y \\ b x \end{pmatrix},$$con $a = 1.4$ y $b=0.3$ (el famoso "mapeo de Hénon").